Большая Советская Энциклопедия (КО) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 363

  Наряду с уже отмеченными, К. м. имеет ещё ряд особенностей. Так, вместе с задачами типа существования, имеющими общематематический характер, важное место в К. м. занимают задачи, связанные с алгоритмической разрешимостью и построением конкретных решающих алгоритмов, что характерно уже для К. м. Другой особенностью К. м. является то, что она по существу первой показала необходимость глубокого исследования так называемых дискретных многоэкстремальных задач, особенно часто возникающих в математической кибернетике. Соответствующие методы классической математики для поиска экстремумов, существенно использующие определённую гладкость функций, в этих случаях оказываются мало эффективными. Типичными задачами такого рода в К. м. являются, например, задачи об отыскании в некотором смысле оптимальных стратегий в шахматной партии при ограниченном числе ходов, а также важный вопрос математической кибернетики о построении минимальных дизъюнктивных нормальных форм для булевых функций, то есть так называемая проблема минимизации булевых функций (см. Алгебра логики ), и т. п. Особенностью К. м., связанной уже с задачами для конечных структур, является и то, что для многих из этих задач, как правило, существует алгоритм решения, в то время как в классической математике полное решение задачи часто возможно лишь при весьма жёстких ограничениях. Примером такого алгоритма может служить алгоритм просмотра всех возможных вариантов, то есть так называемый алгоритм типа «полного перебора». К задачам указанного вида могут быть отнесены, например, упомянутые задачи о стратегиях в шахматной партии, о минимизации булевых функций и др. Вместе с тем решения типа «полного перебора» очень трудоёмки и практически мало приемлемы, в связи с чем возникает ряд новых задач, связанных с условиями, ограничивающими перебор и приводящими к сведению индивидуальных задач, характеризующихся конкретными значениями параметров, к массовой проблеме, характеризующейся бесконечным множеством значений параметров; возникают задачи в наложении ограничений, естественных для этого класса задач, на средства решения и т. п. Постановка такого рода вопросов и разработка методик осуществляется на конкретных моделях, доставляемых различными разделами математики. К их числу относятся, например, модели минимизации булевых функций, синтеза управляющих систем из математической кибернетики и ряд других.

  Лит.: Яблонский С. В., Обзор некоторых результатов в области дискретной математики, «Информационные материалы», 1970, №5(42), с. 5—15; Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную математику, пер. с англ., М., 1965; Дискретный анализ. Сб. трудов (Новосиб., 1963).

  В. Б. Кудрявцев.

Конечная морена

Коне'чная море'на, фронтальная морена, обломочный материал, отложенный в виде одной или нескольких дугообразных гряд у нижнего конца долинного ледника при его длительном стационарном положении. Включает материал боковых морен, основной (поддонной), срединной и внутренней морен. Понижения, разделяющие отдельные гряды К. м., нередко заняты озёрами. Внешняя гряда обычно на несколько десятков метров возвышается над дном долины.

Конечное

Коне'чное, то, что имеет предел, границу, конец. В философии понятие К. используется как категория, характеризующая всякий определённый, ограниченный объект (вещь, процесс, явление, состояние, свойство и т. д.). Каждый познаваемый объект действительности выступает в некотором отношении как К.

  Определённость К. придаёт его граница. Она может быть пространственно-временной, количественной, качественной. Граница и отделяет конечный объект от других, и связывает его с ними. Поэтому К., с одной стороны, обладает относительно самостоятельным, обособленным бытием, а с другой — обусловлено чем-то другим и зависит от него. В этом заключается противоречивость К. Наиболее глубокое представление о К. даётся знанием присущей ему меры . Наличие границы или меры необходимо предполагает возможность выхода за неё, т. е. отрицания данного К., перехода или превращения его в другое. Учёт этого приводит к диалектической концепции К., согласно которой оно может быть понято только как единство собственного бытия с собственным небытием, как взаимопереход их друг в друга. Иначе говоря, К. должно пониматься как движущееся, изменяющееся, преходящее.

  Рассмотрение процесса движения К., в ходе которого совершается постоянный выход за его границу, ведёт к идее бесконечности . Связь К. с бесконечным носит двоякий характер: во-первых, всякий конечный объект связан с бесконечным многообразием других конечных объектов «вне себя» (экстенсивная бесконечность); во-вторых, он содержит бесконечное в себе как выражение всеобщих, инвариантных характеристик (интенсивная бесконечность). Следовательно, при познании любого материального объекта мы наталкиваемся на единство К. и бесконечного. Всякий материальный объект неисчерпаем (принцип неисчерпаемости материи). Познание «заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечное в конечном, вечное — в преходящем» (Энгельс Ф., смотри Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548).

  В математике понятие К. (как и понятие бесконечного) конкретизируется применительно к специфике математических объектов. При построении той или иной математической теории оно получает различные истолкования, в которых учитываются лишь те способы определения и ограничения объектов, с которыми оперирует данная теория. При рассмотрении объектов, конечных в одном отношении и бесконечных в другом, в математике нередко называют их конечными, но неограниченными, или бесконечными, но ограниченными (например, множество точек отрезка прямой бесконечно, но ограничено; замкнутое эллиптическое пространство Римана конечно, но не ограничено). В этих случаях, однако, под конечностью (бесконечностью) также понимается наличие (отсутствие) границы в некотором отношении (например, пространство Римана конечно в том смысле, что имеет количественную границу, характеризующую величину наибольшего расстояния в нём). В наиболее общей форме математического определения К. (конечного множества) даются в математической логике и теории множеств (например, дедекиндово определение: множество М конечно, если среди его собственных подмножеств не существует такого, которое было бы эквивалентно ему). Доказано, что среди различных определений конечного множества не может быть ни «самого сильного», ни «самого слабого», т. е. для любого из них найдётся как такое определение, которое логически выводимо из него, так и такое, из которого оно само может быть выведено.

  А. С. Кармин.

Конечно-моренный рельеф

Коне'чно-море'нный релье'ф, рельеф, возникший у конца долинных и материковых ледников; см. Моренный рельеф .