Большая Советская Энциклопедия (КО) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 365

365

Рис. к ст. Конечных приращений формула.

Конечных разностей исчисление

Коне'чных ра'зностей исчисле'ние, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ),..., yk = f (xk ),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x ,..., xk ,,... (xk = х + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:

Dyk ? Df (xk ) = f (xk+1 ) - f (xk )

(разности 1-го порядка),

D2 yk ? D2 f (xk ) = Df (xk+1 )- Df (xk ) = f (xk+2 )-2f (xk+1 ) + f (xk )

(разности 2-го порядка),

Dn yk ? Dn f (xk ) = Dn-1 f (xk+1 ) - Dn-1 f (xk )

(разности n-го порядка).

  Соответственно, конечные разности «назад» Dn yк определяются равенствами

Dn yк = Dn yк + n .

  При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dn y , которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi +1 l2 h, а при чётном n в точках х = xi по формулам

df (xi + 1 /2 h) ? dyi+1/2 = f (xi+1 ) - f (xi ),

d2 f (xi ) ? d2 yi = dyi+1/2 ,

d2m-1 f (xi + 1 /2 h) ? d2т— 1yi +1/2 = d2т— 2yi +1 -d2т— 2yi ,

d2m f (xi ) ? d2т уi = d2т— 1yi +1/2 - d2т— 1yi -1/2

Они дополняются средними арифметическими

,

,

  где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

.

  Центральные разности dn y связаны с конечными разностями Dn y соотношениями

d2т уi = D2т уi-m ,

d2т+ 1yi +1/2 =   D2m+1 yi-m

  Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………

.

  Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dn yk = f (n) (

), где xk ?

?xk+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

  Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

  Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

F [x,(f (x),..., Dn f (x)] = 0           (1)

задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n- го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

Ф [х, f (x), f (x1 ),..., f (xn ) ] = 0,

выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

f (x+n) + a1 f (x+n-1) +... + an f (x) = 0,

где a1 ,..., an — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1 , l2 ,... ln его характеристического уравнения

ln + a1 ln-1 +...+an = 0.

Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

f (x) = С1 l1 х + C2 l2 x +... + Cn ln x ,

  где C1 , C2 ,..., Cn — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l1 , l2 ,..., ln нет равных).

  Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

  Под редакцией Н. С. Бахвалова.

Конжаковский камень

Конжако'вский ка'мень, один из самых высоких горных массивов Урала. Расположен в северной части Среднего Урала, в Свердловской области РСФСР. Высота 1569 м. Сложен пироксенитами, дунитами и габбро. Склоны глубоко изрезаны речными долинами и покрыты хвойными лесами (сосна, лиственница, ель) с примесью берёзы. Выше 900—1000 м — горная тундра, каменные россыпи.