Большая Советская Энциклопедия (МА) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 427

  Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению определителей перемножаемых М.

  Часто удобно разбивать М. на клетки, являющиеся М. меньших размеров, проводя разделительные линии через всю М. слева направо или сверху вниз. При умножении такой так называемой клеточной М. на число, нужно умножить все её клетки на то же число. При надлежащем согласовании разбиений действия сложения и умножения клеточных М. осуществляются так, как будто вместо клеток стоят числа.

  Квадратная М. А = (aij ) называется неособенной, или невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. называется особенной (вырожденной). М. А-1 называется обратной к квадратной М. А , если AA-1 = E , при этом

. Неособенность М. А есть необходимое и достаточное условие существования обратной М., которая при этом оказывается единственной и перестановочной с исходной М. Верна формула: (AB )-1 = B-1A-1 .

  Большой интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А+ , определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:

  AA+A = A , А+АА+ = А , AA+ = (AA+ )*, А+А = (А+А )*.

  Квадратные матрицы. Степенью An М. А называется произведение n сомножителей, равных А . Выражение вида aАn + a1An-1 + ... + anE , где a , a1 , ..., an — числа, называется значением полинома atn + aitn-1 + ... + anE от квадратной М. А . Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраическими многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если

 

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (например,

), то и бесконечный ряд  оказывается сходящимся при любой М. А , его сумму естественно считать равной f(A) . Если же ряд f(t) сходится в некотором конечном круге сходимости, то f(A) задаётся этим рядом для достаточно «малых» М.

  Аналитические функции от М. играют большую роль в теории дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде

 

(здесь Х — столбец из неизвестных функций), имеет решение х = eAt C , где С — столбец из произвольных постоянных.

  Ненулевой столбец Х такой, что AX = lХ , называется собственным вектором М. А . В этом равенстве коэффициент l может быть лишь одним из корней многочлена

 

который называется характеристическим многочленом М. А . Эти корни называются собственными значениями, или характеристическими числами, М. А . Коэффициенты характеристического многочлена выражаются через суммы некоторых миноров М. А. В частности, p1 = a11 + ... + a1n = SpA (след A ),

. Справедливо соотношение Кэли — Гамильтона: если j(f ) есть характеристический многочлен М. А , то j(A ) = 0, так что М. А является «корнем» своего характеристического многочлена.

  М. А называется подобной М. В, если существует такая неособенная М. С , что В = С-1 AС . Легко проверяется, что подобные М. имеют одинаковые характеристические многочлены.

  Исчисление матриц . М. — полезный аппарат для исследования многих задач теоретической и прикладной математики. Одной из важнейших задач является задача нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в виде

  AX = F ,

где A есть М. коэффициентов, Х — искомое решение, записанное в виде столбца из n элементов, F — столбец свободных членов из m элементов. Если А — квадратная неособенная М., то система имеет единственное решение Х = A -1 F . Если A прямоугольная (m ´ n -матрица ранга k , то решение может не существовать или быть не единственным. В случае несуществования решения имеет смысл обобщённое решение, дающее минимум сумме квадратов невязок (см. Наименьших квадратов метод ). При отсутствии единственности точного или обобщённого решения часто выбирают нормальное решение, то есть решение с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщённое решение находится по формуле Х = A + F . Наиболее важен случай переопределённой системы: k = n < m . В этом случае обобщённое решение единственно. При k = m < n (недоопределённая система) точных решений бесконечно много и формула даёт нормальное решение.

  Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравнений, в теории малых колебаний, в квантовой механике и т. д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значений М. и принадлежащие им собственные или корневые (некоторые обобщения собственных) векторы. К этой задаче близко примыкает и обобщённая проблема собственных значений, в которой ищутся числа и векторы такие, что AX = lBX (А и В — заданные М.), и многие родственные проблемы.

  С полной проблемой непосредственно связана также задача о приведении преобразованиями подобия квадратной М. к каноническjй форме. Такой формой будет diag (l1 , ..., ln ), если М. имеет n различных собственных значений l1 , ..., ln , или форма Жордана [см. Нормальная (жорданова) форма матрицы ] в общем случае.

  Ввиду большой практической важности поставленных задач для их численного решения имеется большое число различных методов. Наряду с нахождением численного решения важно оценивать качество найденного решения и исследовать устойчивость решаемой задачи.

  Матрицы специального типа. Существует большое число различных типов М. в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.

Название матрицы Определяющее условие Симметричная Кососимметричная Ортогональная  или Стохастическая Эрмитова Унитарная  или