Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис - Страница 55

Эйлер подчеркивал, что эти дифференциалы (предельные значения kи h) — абсолютные нули и из них нельзя извлечь ничего, кроме их отношения, которое и было вычислено в заключение и оказалось конечной величиной. В третьей главе «Основ анализа» Эйлера есть немало рассуждений такого рода. Стремясь приободрить читателя, Эйлер замечает, что понятие производной не столь уж загадочно, как обычно думают, хотя оно в глазах многих делает дифференциальное исчисление подозрительным. Разумеется, предложенное Эйлером обоснование метода нахождения производной было ничуть не более здравым, чем обоснования, предлагавшиеся Ньютоном и Лейбницем.

Формальный, некорректный подход Эйлера все же явился большим шагом вперед, ибо, избавляя математический анализ от традиционной основы — геометрии, подводил под него базу арифметики и алгебры. Этот шаг впоследствии привел к обоснованию анализа на основе понятия числа.

Наиболее претенциозная из последующих попыток заложить фундамент анализабыла предпринята в XVIII в. Лагранжем. Подобно Беркли и другим своим предшественникам, Лагранж считал, что полученные с помощью анализа правильные результаты объясняются наложением и взаимной компенсацией ошибок. Свою собственную реконструкцию анализа Лагранж изложил в книге под названием «Теория аналитических функций» (1797; 2-е изд. — 1813). {79}Подзаголовок книги гласил: «Содержащая основные теоремы дифференциального исчисления, [доказанные] без использования бесконечно малых, исчезающих величин, пределов и флюксий, и сведенная к искусству алгебраического анализа конечных величин»(курсив М. К.).

Критикуя Ньютона, Лагранж, в частности, указывал, что, рассматривая предел отношения дуги к хорде, тот считал хорду и дугу равными не до и не после, а в момент исчезновения. В этой связи Лагранж заметил:

Лагранж не был удовлетворен ни бесконечно малыми величинами Лейбница, ни абсолютными нулями Эйлера, так как оба этих понятия, «хотя и правильны в действительности, все же недостаточно ясны для того, чтобы служить основанием науки, надежность выводов которой зиждется на ее очевидности».

Лагранж хотел придать математическому анализу всю строгость доказательств древних и стремился достичь желаемого путем сведения математического анализа к алгебре. В частности, Лагранж предложил использовать для строгого обоснования анализа бесконечные ряды, которые в то время было принято относить к алгебре, хотя с их обоснованием дело обстояло хуже, чем с обоснованием математического анализа. Лагранж «скромно» заметил, что его метод почему-то не пришел в голову Ньютону.

Нам нет необходимости вдаваться в подробности обоснования анализа «по Лагранжу». Помимо совершенно неудовлетворительного использования рядов Лагранж производил множество алгебраических преобразований, призванных скорее помешать читателю обнаружить немаловажное обстоятельство: отсутствие строгого определения производной. Все результаты, полученные Лагранжем, были обоснованы столь же плохо, как и результаты его предшественников. Лагранж был убежден, что ему удалось избавиться от понятия предела и построить весь анализ на основе алгебры. Несмотря на все допущенные Лагранжем ошибки, предложенный им вариант обоснования анализа имел несколько выдающихся продолжателей.

Мнение о том, что математический анализ представляет собой лишь продолжение алгебры, было подкреплено фундаментальным трехтомным трудом Сильвестра Франсуа Лакруа (1765-1843), вышедшим в 1797-1800 гг. Лакруа шел по стопам Лагранжа. В меньшей по объему однотомной работе под названием «Элементарный трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» (1802) Лакруа использовал теорию пределов (точнее, то, что понимали под теорией пределов в начале XIX в.) — правда, по словам Лакруа, лишь для того, чтобы сэкономить место.

Некоторые английские математики начала XIX в. решили взять реванш над превосходившими их математиками из континентальной Европы. Чарлз Бэббедж (1792-1871), Джон Гершель (1792-1871) и Джордж Пикок (1791-1858), бывшие тогда выпускниками Кембриджского университета, основали Аналитическое общество и перевели краткий курс математического анализа Лакруа. {80}Однако в предисловии переводчиков говорилось следующее:

Пикок утверждал, что теория пределов неприемлема, так как она отделяет принципы дифференциального исчисления от алгебры. Гершель и Бэббедж выразили полное согласие с мнением своего коллеги.

Насущная необходимость надлежащего обоснования математического анализа остро ощущалась в конце XVIII в. всем математическим миром, и по предложению Лагранжа отделение математики Берлинской академии наук, директором которой он состоял в 1766-1878 гг., назначила в 1784 г. приз (который должен был быть вручен в 1786 г.) за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:

К участию в конкурсе допускались все желающие, за исключением членов Академии, Всего на рассмотрение жюри поступило двадцать три работы. Официальное решение, опубликованное после окончания работы жюри, гласило: