Суперфрактал - Деменок Сергей - Страница 2

Глава I.

Фрактал как идея

• Фрактал — это магия

• Фрактал — это...

• Фрактальное подобие

• Фрактальный повтор

• Фрактальная размерность

• Пророчество Пифагорейцев

• Симметрия и суперсимметрия

• Фрактал: форма, алгоритм и число

• Фракталы Рона Эглеша

• Фракталы повсюду

• Фрактальная диалектика

Фрактал — это магия

Мир вокруг битком набит фракталами. Фрактальные структуры обнаруживают себя и в контурах горных хребтов, и в контурах леса на фоне неба, и в системах кровеносных сосудов, и в облаках, и в молниях. Снежинки, сталагмиты и сталактиты, подсолнух, папоротник, морские раковины, все они — фракталы. Они построены по правилам, которые моделирует фрактальный алгоритм.

Фрактальный алгоритм производит волшебные непредсказуемые формы. Это — своего рода магия. Привычно думать, что магии не существует. И все же она пропитывает все сущее. Она — в каждой вещи и в каждом движении. Это — факт. Волшебство и неповторимое чудо имеют то основание, что за всякой вещью и всяким действием есть нечто, производящее саму возможность для появления той или иной вещи, того или иного действия. Фраза из Апокалипсиса (1:8), описывающая Иисуса Христа, указывает на источник, порождающий и завершающий возможность вещей и явлений:

Эта формула означает, что божественный, неизменный и вечный мир есть по ту сторону вещей и по ту сторону явлений. И этот мир есть порядок и красота. Этот мир есть вместилище всех возникающих и исчезающих структур — в чистом виде суперструктура. Те, кто первыми брал в руки вышедшую в середине XIII века «Морализованную Библию», должно быть, представляли мир таким, как он изображен на минитюре «Сотворение мира»: замысловатым многообразием в умелых руках Создателя. Это многообразие по форме более всего напоминает фрактал.

Сотворение мира. Миниатюра (Морализованная Библия, Франция, XIII в. Национальная библиотека Австрии, Вена, рукопись №2554)

Фрактал — это нечто пластичное и одновременно цельное. Словами Бенуа Мандельброта:

Фрактал настолько пластичен, что способен совместить случай и строгий расчет в одном объекте, для которого Майкл Барнсли придумал название «суперфрактал». Тонкая фратальная изменчивость позволяет инкорпорировать в алгоритм построения фрактала генератор случайных возмущений и не разрушить при этом предопределенность фрактальной формы. Это оказывается возможным при том условии, что случайность в алгоритме построения фрактала подчинена строжайшей дисциплине.

Примерами могут служить фракталы Майкла Барнсли, полученные с помощью систем итерированных функций. Они в большинстве случаев построены при помощи вероятностной случайности. В книге «Фрактал: между мифом и ремеслом»[Деменок С. Л. Фрактал: между мифом и ремеслом.— СПб.: ООО «Ринвол: Академия исследования культуры, 2011.] (2011) было впервые описано семейство алеаторных фракталов, построенных по алгоритмам, содержащим «чистую» случайность. Есть еще стохастические фракталы. Стохастические фракталы могут быть строго детерминированными, как функция Вейерштрассе. В процессе построения таких фракталов нет никакой случайности. Но есть природные стохастические фракталы. Они, как правило, случайные. Это, например, броуновское движение.

Есть более сложные конструкции — суперфракталы. В них правила построения (алгоритмы) изменяются спонтанно.

Суперфрактал никогда не повторяется, он все время изменяется, не изменяя только самому себе. СУПЕР! Приставка «супер» стала трендом новейшего естествознания. Достаточно вспомнить суперструны и суперсимметрию. Причина такой тяги к приставке «супер» в том, что современная наука выходит за границу естественных вещей и явлений и смещается в область «сверхъестественного» — supernatural. Суперфрактал — объект этой новой волны.

Фрактал — это...

В середине 1970-х Бенуа Мандельброт изложил основы фрактальной геометрии в трех книгах — «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (1975), «Фрактальная форма, случай и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1977). В 1993 году Мандельброт получил престижную премию Вольфа за «изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной геометрии».

Фрактальная геометрия радикально отличается от геометрии Евклида. Отличие не относится к аксиоме о параллельности, как в геометрии Лобачевского. Отличие — в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Мандельброт обратил внимание на то, что контуры окружающих нас предметов неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюров. Распространенным повсеместно, таким объектам присущи шероховатость, пористость и раздробленность.

Среди смятых, скомканных, изрезанных и рваных фигур есть огромный класс форм, раздробленность и пористость которых имеют «одинаковую степень в любом масштабе». Именно эти формы Мандельброт назвал фракталами. Увеличивая фрагменты фрактальных объектов, замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остается почти неизменной. Прорыв, который совершил Мандельброт, заключается в осознании того, что затейливые зигзаги имеют «код формообразования».

В книге «Фракталы, случай и финансы» Мандельброт дал определение фрактала с акцентом на неизменную «степень пористости» фрактального объекта:

Термин «фрактал» образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как «ломать, разламывать», т.е. создавать фрагменты неправильной формы. По созвучию слово «фрактал» указывает на «разрыв» —fracture и нечто дробное — fraction. Помимо значения «фрагментированный» (как, например, в словах «фракция» или «рефракция»), слово fractus несет значение «неправильный по форме». Примером сочетания обоих значений может служить слово «фрагмент». Но, как заметил Жан Бодрийяр в книге «Пароли», —

Фрактал и фрагмент — это не одно и то же. Фрагмент всегда сохраняет просвет между собой и другим фрагментом. Фрактал, состоя из фрагментов, постоянно заполняет просветы между фрагментами. Чем? Своими фрагментами. В этом смысле фрактализация — процесс, обратный фрагментизации, и у Бодрийяра есть все основания говорить о