Суперфрактал - Деменок Сергей - Страница 4

Фрактальный повтор

Когда какое-то действие необходимо повторить большое количество раз, используются циклические процессы и процедуры. Один шаг цикла называется итерацией.

Серийное производство есть «итерация по шаблону», т. е. на каждом шаге вычислений идет возврат к начальному условию. Здесь каждый новый цикл стартует «от печки». «Итерацию по шаблону» использует программист, когда ему нужно вывести сто раз на экран текст «Iteration». Вместо стократного повторения одной и той же команды вывода текста программист создает цикл, который повторяется сто раз, и сто раз выполняет то, что написано в «теле цикла».

Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии. В этом случае результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего. Так, например, положение и скорость тела в каждый момент времени определяются через положение и скорость тела в предыдущий момент времени. Визуально рекурсия иллюстрирует рекламный трюк — эффект Дросте.

Эффект Дросте — термин ввел в конце 1970-х годов журналист Нико Схепмакер по названию голландской марки какао фирмы Droste, которая использовала этот эффект на упаковке своей продукции в 1904 году.

Эффект рекурсии достигается таким образом: на фотографии размещается уменьшенный вариант той же фотографии или объекта с этой фотографии, на уменьшенной копии размешается еще более уменьшенная фотография, и так далее

Иллюстрация эффекта Дросте на примере видеоинтерпретации картины Эшера Galeria degrabados, 1956

Хорошей математической иллюстрацией рекурсии являются числа Фибоначчи. Этот термин придумал в XIX веке французский математик и автор многих популярных математических головоломок Эдуард Люка. Числа Фибоначчи — первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII его «Liber abaci» («Книга абака», 1202):

Суть проста. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает; итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары — всего тринадцать пар.

Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равно количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности

Ничего не напоминает?

Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!

Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно

Естественно, общее количество пар — сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:

Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:

Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:

Здесь n — это номер члена последовательности (например, u3 — это третий член последовательности), un+1— это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а un+2 — это член последовательности, следующий за un+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.

Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Фрактальная размерность

Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.

Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?

В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений — ноль, у прямой — одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников — два, у объемных тел — три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.

Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:

Мандельброт дал на это неожиданный ответ:

Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно — по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.